La terza legge di Kepler: il movimento dei pianeti del sistema solare

La terza legge di Keplero è l'ultimo dei teoremi rivoluzionari degli astronomi tedeschi Johannes Kepler e spiega le orbite planetarie attorno al sole.

Prima che Keplero delineasse le sue leggi sul moto planetario all'inizio del XVII secolo, la conoscenza dell'umanità del sistema solare e oltre era agli albori e rimaneva in gran parte un mistero. Al tempo di Keplero l'idea era che la Terra fosse il centro del sistema solare, e forse dell'universo stesso.

Anche i modelli eliocentrici più accurati del sistema solare che collocavano il sole al centro erano incompleti, suggerendo che i pianeti si muovono in cerchi netti attorno alle loro stelle.

Le leggi di Keplero sposterebbero invece la stella dal centro di questo modello leggermente a un punto focale, appiattendo le orbite dei pianeti, e suggeriscono che questi corpi planetari si muovono a velocità che variano a seconda della vicinanza alla loro stella.

Giovanni Keplero

I primi semi delle leggi di Keplero furono piantati prima della sua nascita nel 1571 nella Città Imperiale Libera di Weil der Stadt, che ora fa parte della regione di Stoccarda nello stato tedesco del Baden-Wrttemberg da padre Heinrich Kepler e madre Katharina Guldenmann.

Precedono la sua osservazione del 1577 de La Grande Cometa, che promosse nel giovane un fascino per l'astronomia che sarebbe durato tutta la sua vita. O la sua osservazione di un'eclissi lunare nel 1580 che cementò questa preoccupazione.

Un evento più significativo per Keplero avvenne nel 1543, prima della sua nascita, quando Nicolaus Copernicus pubblicò la sua teoria secondo cui la Terra ruota attorno al sole nel suo libro Sulle rivoluzioni delle sfere celesti.

La teoria avrebbe innescato una grande rivoluzione scientifica, giustamente chiamata rivoluzione copernicana. Keplero e altri alla fine avrebbero cavalcato quest'onda e si sarebbero basati sul lavoro di Copernico per ribaltare i modelli geocentrici che suggerivano che il sole e gli altri corpi del sistema solare ruotassero attorno alla Terra.

Johannes Kepler era un astronomo e matematico tedesco nato nel 1571. (Credito immagine: Getty Images)

Nell'agosto del 1600, Keplero fu bandito da Graz, in Austria, lasciandolo libero di viaggiare attraverso il Danubio fino a Praga, per lavorare per il famoso astronomo Tycho Brahe.

Brahe era considerato all'epoca l'autore delle più accurate osservazioni in astronomia e vide il potenziale degli studi di Keplero. Questo non significava che si fidasse completamente del suo nuovo assistente.

Keplero è stato esposto solo a una parte dei dati planetari di Brahe, per timore di eclissare il suo nuovo mentore. Questa paura del potenziale di Keplero potrebbe essere stata la motivazione di Brahe per affidargli il compito di comprendere meglio l'orbita di Marte . Mentre Keplero lavorava su questo problema, Brahe iniziò a perfezionare il suo modello geocentrico del sistema solare con la Terra al centro.

Non solo l'orbita di Marte non si adattava bene al modello geocentrico, ma era anche un problema per i primi modelli copernicani che suggerivano che le orbite dei pianeti fossero cerchi perfetti.

Così, Keplero si rese conto che le orbite dei pianeti non erano circolari, ma erano cerchi o ellissi appiattiti. Consegnando a Keplero lo studio dell'orbita di Marte, l'orbita planetaria più ellittica, Brahe aveva inconsapevolmente svelato il proprio modello geocentrico prima del suo completamento e aveva facilitato la creazione di leggi che avrebbero aiutato a cementare l'eliocentrismo come modello accettato del sistema solare.

Un diagramma della traiettoria geocentrica di Marte. L'indagine di Keplero sull'orbita dei pianeti rossi avrebbe portato alle sue prime due leggi planetarie. (Credito immagine: Johannes Kepler/PD-US)

Proprietà delle ellissi leggi uno e due

Una delle chiavi per comprendere le leggi di Keplero del moto planetario risiede nelle proprietà delle ellissi.

La prima proprietà delle ellissi è che sono definite da due punti focali, i fuochi. La somma delle distanze da un punto qualsiasi di un'ellisse è sempre una costante. Per le orbite planetarie, questo porta alla prima legge di Keplero, l'orbita di un pianeta è un'ellisse con il Sole in uno dei due fuochi.

Ciò significa che il pianeta e la sua stella orbitano attorno a un comune centro di massa, ma poiché la massa delle stelle è molto più grande che il suo pianeta, quel centro di massa non è solo più vicino alla stella, è spesso al di sotto della sua superficie.

La seconda proprietà di un'ellisse definisce la differenza tra questa forma e un cerchio. Un'ellisse è un cerchio appiattito, questa planarità è definita eccentricità e assume un valore compreso tra 0 e 1. Quindi un cerchio perfetto può essere pensato come un'ellisse con eccentricità 0. Una parabola sarebbe un'ellisse con eccentricità 1 .

Per la seconda legge di Keplero, immagina un pianeta su un'orbita ellittica con una linea che lo unisce alla sua stella madre. Mentre il pianeta si muove, la linea spazza via un'area che è sempre la stessa.

Il periodo orbitale del pianeta si trova misurando il tempo trascorso tra il passaggio della Terra e il sole. Una volta noto il periodo orbitale, viene applicata la Terza Legge di Keplero per determinare la distanza media del pianeta dalle sue stelle. (Credito immagine: NASA Ames)

Tuttavia, a causa dell'eccentricità, quando un pianeta è più vicino alla sua stella, la linea tra i due è più corta. Ciò significa che l'area che traccia è meno profonda. Pertanto, per tracciare la stessa area nella stessa quantità di tempo, il pianeta deve muoversi più rapidamente.

Quindi, la seconda legge di Keplero ci dice che quando un pianeta è più vicino alla sua stella in un punto chiamato perielio, si muove più velocemente. D'altra parte, quando il pianeta è più lontano dalla sua stella all'afelio, il pianeta si muove più lentamente.

È naturale raggruppare queste due leggi insieme poiché sono nate da osservazioni strettamente custodite da Brahes e sono state pubblicate insieme nell'opera del 1609 Astronomia nova (Nuova Astronomia).

La terza legge di Keplero, nota anche come legge dell'armonia, richiederebbe altri dieci anni per essere formulata. Pubblicato nel 1619, rivelerebbe la meccanica dei sistemi solari con dettagli senza precedenti.

Una terza legge armonica

Il quadrato del periodo orbitale di un pianeta è proporzionale al cubo del semiasse maggiore della sua orbita.

Questa è la terza legge di Keplero in poche parole, e deriva dalla terza proprietà fisica delle ellissi, correlata ai suoi vari punti dell'asse. L'asse più lungo dell'ellisse è chiamato asse maggiore, mentre l'asse più corto è chiamato asse minore. La metà dell'asse maggiore è definita semiasse maggiore.

L'equazione per la terza legge di Keplero è P = a, quindi il periodo di un'orbita di un pianeta (P) al quadrato è uguale alla dimensione del semiasse maggiore dell'orbita (a) al cubo quando è espressa in unità astronomiche.

Quello che fa effettivamente la Terza Legge di Keplero è confrontare il periodo orbitale e il raggio di orbita di un pianeta con quelli di altri pianeti. Pertanto, a differenza della prima e della seconda legge di Keplero che descrivono le caratteristiche del movimento di un singolo pianeta, la terza legge degli astronomi confronta il movimento di pianeti diversi e calcola le armonie dei pianeti.

Questo confronto prende la forma del rapporto tra i quadrati dei periodi (T) ei cubi delle loro distanze medie dal sole (R), trovandolo uguale per tutti i pianeti.

Grazie a questa legge, se conosciamo la distanza di un pianeta dalla sua stella, possiamo calcolare il periodo della sua orbita e viceversa. Poiché la distanza tra la Terra e il sole (1 UA) è di circa 92.960.000 miglia (149.600.000 chilometri) e un anno terrestre è di 365 giorni, la distanza e il periodo orbitale di altri pianeti possono essere calcolati quando è nota una sola variabile.

Per il sistema solare, questo ci fornisce un quadro accurato di ogni pianeta in orbita attorno al sole.

All'aumentare delle distanze dei pianeti dal sole, il tempo impiegato per orbitare attorno al sole aumenta rapidamente.

Ad esempio, Mercurio, il pianeta più vicino al sole, completa un'orbita ogni 88 giorni. Il terzo pianeta dal sole, la Terra, impiega circa 365 giorni per orbitare attorno al sole. E Saturno , il sesto pianeta del sistema solare fuori dalla sua stella, ne prende 10.759. Naturalmente, la legge armonica non ci parla solo delle orbite dei pianeti.

Utilizzo della terza legge di Keplero

Una cosa che potrebbe essere evidente per te sulla Terza Legge di Keplero è che non fa menzione della massa di un oggetto. Eppure, grazie all'applicazione delle leggi di gravità di Newton, i fisici arrivano a una forma più generalizzata dell'equazione.

Questa forma generalizzata dell'equazione di terza legge può essere utilizzata per trovare le masse dei corpi coinvolti nel sistema descritto. Data la massa 1 (m1) e la massa 2 (m2), le masse dei due corpi, m1 che descrive la stella è solitamente così significativamente più grande di m2 che la massa del corpo orbitante può essere ignorata.

E con questo in mente, la Legge Armonica è stata utilizzata con successo per calcolare le masse dei pianeti nel nostro sistema solare, con masse accurate e densità medie trovate per Marte, Giove, Saturno, Urano e Nettuno .

Questo si estende oltre i pianeti e le stelle e può essere applicato ai pianeti e alle loro lune e persino ai satelliti artificiali posti in orbita attorno a loro.

Il recente posizionamento di satelliti artificiali attorno a Venere ha consentito di trovare con precisione la massa e la densità media di Venere. Inoltre, la massa totale del sistema Plutone-Caronte è stata determinata utilizzando la legge armonica.

Gli astronomi hanno utilizzato con successo la terza legge per ottenere misurazioni delle orbite altamente ellittiche delle comete attorno al sole.

Ma la terza legge di Keplero non è utile solo nel sistema solare.

La terza legge di Keplero oltre il sistema solare

Gli astronomi hanno scoperto oltre 4.000 pianeti oltre il sistema solare e, grazie alle leggi di Keplero, possono calcolarne le orbite e la massa.

Poiché altre stelle hanno masse diverse rispetto al Sole, la Terza Legge di Keplero subisce un leggero aggiustamento per calcolare le masse dei loro pianeti. Per gli esopianeti , la formula viene modificata per tenere conto della variazione della massa delle stelle rispetto al nostro sole. Quindi gli astronomi usano R = (T x Ms)/3 dove Ms è la massa delle stelle in relazione alla massa dei nostri soli, per calcolare la massa di un esopianeta.

Un'illustrazione artistica dell'esopianeta 55 Cancri e in orbita attorno a un sistema stellare binario. La terza legge di Keplero è stata fondamentale nello studio di tali sistemi stellari. (Credito immagine: NASA/JPL-Caltech)

La terza legge di Keplero, in combinazione con la sua seconda legge, ci ha permesso di derivare le masse delle stelle nei sistemi binari, vitali per comprendere sia la struttura che l'evoluzione delle stelle.

Per fare ciò, gli astronomi usano la funzione di massa binaria, che è derivata dalla terza legge di Keplero e dal fatto che i corpi orbitano attorno a un centro di gravità reciproco. Quando si considerano stelle e pianeti, questo è molto più vicino della stella a causa della massa molto più piccola dei pianeti. Per le stelle binarie, tuttavia, non possiamo fare le stesse ipotesi e non possiamo semplicemente ignorare m2, perché in questi casi è molto più vicino a m1. Fortunatamente, per le stelle binarie, se gli astronomi conoscono il periodo delle stelle (T) e la loro separazione media (a), possono ancora calcolare la somma delle masse delle due stelle.

Ciò significa che la Legge delle Armonie è ora usata in sistemi planetari molto diversi dal nostro. Sistemi che Keplero avrebbe potuto a malapena sognare, quando iniziò sulla Grande Cometa nel 16° secolo.

Johannes Kepler morì il 15 novembre 1630.

Al di là delle sue leggi del moto planetario, la sua eredità sopravvive sotto forma dei telescopi Kepler This Web che hanno dato un contributo vitale alla scoperta di pianeti al di fuori del sistema solare e crateri sia sulla luna che su Marte tra una miriade di altre cose.

Naturalmente, a nessun singolo astronomo o scienziato può essere attribuita la nostra comprensione dell'Universo. La più grande lacuna nelle leggi di Keplero era il fatto che il primo astronomo non poteva spiegare la forza che tiene i pianeti alla relazione che osservava.

Proprio come Keplero costruì il lavoro di Copernico, Isaac Newton alla fine sarebbe arrivato e avrebbe usato le leggi di Keplero per derivare la sua teoria della gravità. E Albert Einstein alla fine si sarebbe basato su questo lavoro per sviluppare la sua teoria della relatività generale.

C'è una buona possibilità che quando Newton disse notoriamente Se ho visto oltre, è stando sulle spalle dei giganti, avesse Keplero e le sue leggi del moto planetario in prima linea nella sua mente.

Risorse addizionali

  • Harmonies Of The World (si apre in una nuova scheda)
  • Johannes Kepler: And the New Astronomy (Oxford Portraits in Science) (si apre in una nuova scheda)
  • NASA: le leggi del moto planetario di Keplero descritte utilizzando i satelliti terrestri (si apre in una nuova scheda)
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